درسنامه آموزشی فصل پنجم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی

در بخش‌های قبل برای محاسبه حد توابع، با دو روش تکمیل جدول و رسم نمودار آشنا شدید. همان‌طور که مشاهده کردید تکمیل جدول زمان بر و رسم نمودار بعضی از توابع نیز مشکل است. در این بخش به بیان قضایایی درباره حد می‌پردازیم که با استفاده از آنها، حد بسیاری از توابع را می‌توان به آسانی محاسبه کرد.

تذکر: قضیه قبل را می‌توان برای سه تابع و بیشتر نیز بیان کرد. یعنی، اگر $n$ یک عدد طبیعی و توابع ${f_1}$، ...، ${f_n}$ همگی در نقطه $x = a$ حد داشته باشند، آن‌گاه:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {{f_1}(x) + ... + {f_n}(x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_1}(x) + ... + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_n}(x)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {{f_1}(x) \times ... \times {f_n}(x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_1}(x) \times ... \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_n}(x)$

به‌ویژه، اگر تابع $f$ در تقطهٔ $x = a$ حد داشته باشد آن‌گاه:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left( {f(x)} \right)^n} = {\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)} \right)^n}$

که در حالت خاص، اگر تابع $f$ را تابع همانی $f(x) = x$ انتخاب کنیم، نتیجه می‌شود:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {x^n} = {a^n}$

مثال: دو تابع $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
  1 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 2 \hfill \\
  x - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \geqslant 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$  و  $g(x) = \left\{ \begin{gathered}
  3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 1 \hfill \\
  4 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \geqslant 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$ را در نظر بگیرید.

حد توابع $f + g$، $f - g$، $f.g$ و $\frac{f}{g}$ را در نقطه $x = 2$ به‌دست آورید.

حل: ابتدا حد دو تابع $f$ و $g$ را در نقطه $x = 2$ محاسبه می‌کنیم. برای این منظور، نمودار دو تابع را رسم می‌کنیم.

با توجه به نمودارها داریم: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) =  - 3$  و  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = 2$.

اکنون با استفاده از قضیه، به محاسبه حدهای مورد نظر می‌پردازیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {f(x) + g(x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) =  - 3 + 2 =  - 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {f(x) - g(x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) =  - 3 - 2 =  - 5$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {f(x)g(x)} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)} \right)\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)} \right) = ( - 3)(2) =  - 6$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)}} = \frac{{ - 3}}{2}$

مثال:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } ({x^4} + 3x - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {x^4} + \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } 3x - \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } 1$ (1

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } x)^4} + 3\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } x - \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } 1$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + 3\left( {\sqrt 2 } \right) - 1 = 4 + 3\sqrt 2  - 1 = 3 + 3\sqrt 2 $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} x\left| x \right| = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} x} \right) \times \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left| x \right|} \right) = 3 \times \left| 3 \right| = 9$ (2

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{4{x^2} + 7}}{{1 - x}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} (4{x^2} + 7)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} (1 - x)}} = \frac{{4{{\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} } \right)}^2} + 7}}{{1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} x}} = \frac{{4{{(\frac{1}{2})}^2} + 7}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 16$ (3

مثال:

(برای $n$‌های زوج $a$ باید مثبت باشد)      $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a}$ (1

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt {2x - 1} }}{{3x - 4}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {2x - 1} }}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (3x - 4)}} = \frac{{\sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2x - 1)} }}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (3x - 4)}} = \frac{{\sqrt {2(1) - 1} }}{{3(1) - 4}} =  - 1$ (2

حد توابع مثلثاتی

مثال:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} (2{\cos ^2}x - \sin x) = 2{\cos ^2}(\frac{\pi }{6}) - \sin (\frac{\pi }{6}) = 4{(\frac{{\sqrt 3 }}{2})^2} - \frac{1}{2} = 2/5$

تذکر: همه قضایا و فعالیت‌های بیان شده دربارهٔ حد (دوطرفه)، برای حد چپ و حد راست نیز برقرارند. به‌عنوان مثال، اگر حد چپ توابع $f$ و $g$ در $a$ موجود باشند، آن‌گاه:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \left( {f(x) + g(x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} g(x)$

مثال:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} {x^n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \overbrace {(x \times ... \times x)}^n = (\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} x) \times ... \times (\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} x) = a \times ... \times a = {a^n}$ (1

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - \left[ x \right]}}{{{x^2} + 2}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - \left[ x \right]} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ({x^2} + 2)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ x \right]}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 2}} = \frac{{1 - 0}}{3} = \frac{1}{3}$ (2

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (\cos x - \sin x) = \cos (0) - \sin (0) = 1$ (3